Je vous écrit à propos de ce commentaire que vous m’avez envoyé:

%% SM: Hmm... doesn't this break type-preservation since `a` has type `A i₀`
%% whereas `transp A i₀ a` has type `A i₁`?

Ma justification est que puisque A (_ := i0) et A (_ := i1) sont équivalents car l’argument `i` est effaçable, la règle n’est pas trop déraisonnable.

J’imagine qu’on peut reproduire la même ‘situation' en utilisant l’égalité précédente de Typer. On peut par exemple construire une preuve d’égalité entre A (_ := i0) et A (_ := i1) en utilisant Eq_refl, on peut ensuite faire un cast sur un terme `a : A (_ := i0)` qui va tout simplement renvoyer le `a` tel quel.

La *normalisation* de `cast ... a` n'est en général pas `a`. Une telle normalisation casserai notre système. Il l'est seulement lorsque la preuve est égale à `Eq_refl`. Et cela malgré que l'argument est effaçable. 🙁

Par exemple:

λ (P : Eq Int String) -> String_concat (cast P 3) "Oops"

ne doit pas se réduire à

λ (P : Eq Int String) -> String_concat 3 "Oops"

vu que ce n'est pas well-typed!

C'est discuté par exemple dans:

@Article{Werner08, author = Werner, title = {On the Strength of Proof-Irrelevant Type Theories}, journal = LMCS, year = 2008, volume = 4, number = 3, pages = {1-20}, doi = {10.1007/11814771_49}, url = {https://arxiv.org/abs/0808.3928%7D, abstract = {We present a type theory with some proof-irrelevance built into the conversion rule. We argue that this feature is particularly useful when type theory is used as the logical formalism underlying a theorem prover. We also show a close relation with the subset types of the theory of PVS. Finally we show that in these theories, because of the additional extentionality, the axiom of choice implies the decidability of equality, that is, almost classical logic. Finally we describe a simple set-theoretic semantics.} }

Lors de l'*évaluation*, oui, `cast ... a` devient `a` sans avoir besoin de regarder la preuve, parce que lors de l'évaluation le contexte est vide, donc la preuve ne peut être que `Eq_refl` de toute façon.

Stefan